март « 2013 « Ех, та математика...

У глави Архимедовој било је више маште неголи у Хомеровој.
Волтер

Ако си марљив и мудар, странче, израчунај број
Сунчевих говеда што су недавно пасла на пољима
Тринакије на отоку Сицилији, подељених у четири стада
различитих боја: једног белог као снег, другог
бљештаво црног, трећег жутог и четвртог шареног.
У сваком је стаду било мноштво бикова:
Број белих био је једнак збиру половине и трећине
црних и још томе треба додати све жуте.
Број црних добија се када четвртини и петини шарених
додамо и све жуте.
Знај да је шарених било колико је збир шестине
белих и њихове седмине, а њима треба додати и све жуте.
А ево колико је крава било:
Белих је било тачно онолико колико износи трећина и
четвртина целокупног крда црних.
Број црних био је једнак збиру четвртине и петине све шарене стоке.
Шарених је крава било онолико колики је зброј петине и
шестине све жуте стоке у стаду.
На крају, жуте су краве по броју биле једнаке
збиру шестине и седмине белога крда.
Могнеш ли, странче, тачно рећи број Сунчевих
говеда, утврдивши поjeдиначно број гојних бикова и
број крава према њиховој боји, нећу те држати
невештим и незналицом по питању бројева, али још
увек те нећу убројати међу мудре.

Али, хајде размисли још и о овим услоима који се
односе на Сунчева говеда:
Кад се бели волови измешају са црнима и
распореде тако да у ширину стане једнако као у
дубину, испуниће се долина Тринакије њиховим
мноштвом.
А ако се жути и шарени бикови сакупе у једно крдо
тако да међу њима не буде ниједног вола друге
боје нити иједан од жутих или шарених не узмањка,
они ће се моћи распоредити тако да им број по
редовима расте, почев од броја један, па се тако
напуни триангуларни број.
Можеш ли, странче, решити све ово, завршићеш
окружен славом и сматраће те ненадмашним у
мудрости.

Овај проблем познат је као Архимедов проблем стоке. Написан је у форми епиграма у 44 реда, а ово је његов слободан превод.
Епиграм је кратка песничка форма, обично писана у елегијском дистиху. Присутaн је у старогрчкој књижевности. Коришћен је и као јавна или пригодна порука (честитка, посланица, молба). Облик епиграма имале су и ругалице како неким особама,тако и догађајима у пишчевој околини. Тако је и овај Архимедов епиграм настао као својеврстан његов одговор на зановетања Аполонија из Перга (262.–190. г. пне) који је Архимеду пребацивао да је склон математичким проблемима чије решавање захтева напорна и дуготрајна рачунања. Архимед је осмислио нумерички захтеван проблем, који је послао Ератостену из Кирене (275.–195. г. пне). Инспирацију је врло вероватно пронашао у Хомеровој Одисеји.

Иначе, сам проблем појавио се 1773. године у преводу немачког писца Gottholda Ephraima Lessinga (1729.–1781.). Лесинг је био библиотекар у познатој библиотеци у Wolfenbüttelu. Библиотека је садржала бројне рукописе и дела писана на грчком и латинском
језику и он је, проучавајући и преводећи неке од њих, наишао и на проблем стоке. Опште решење проблема дао је 1880. године немачки математичар A. Amthor који је показао да је резултат приближно једнак 7.76· 10 206 544 , што је број са 206 545 знаменки и да су његове прве четири цифре 7760. Један неформални скуп под називом The Hillsboro Mathematical Club коју су чинили математичари E. Fish, G. H. Richards и A. H. Bellу годинама 1889. до 1893. израчунали су прву 31 и последњих 12 цифара најмањег решења проблема. Резултат је објављен у часопису American Mathematical Monthly.
7760271406486818269530232833209 …

У познатом часопису American Mathematical Monthly Vardi пише: Једноставност проблема и сложеност решења сјајан су изазов, а сам је проблем још један прилог тврдњи да је Архимед један од највећих математичара свих времена.

Користећи знања из геометрије могуће је направити такав билијарски сто на коме не можете да промашите. Уколико до сада нисте имали среће и искуства у билијару немојте да бринете, код непогрешивог стола математика је на вашој страни. Задатак је једноставан. Пред вама су две обичне кугле и сто елипсастог облика, а циљ је да из једног одбитка првом куглом погодите другу. У ствари, прави проблем је промашити! Да би смо објаснили зашто је то тако, мораћемо да се подсетимо једног физичког закона и једне математичке дефиниције.

Прво, кугле се (као што је то случај и са светлошћу) при одбијању од неке препреке покоровају закону који гласи: “Упадни угао је једнак одбијеном”. И не само то, од свих могућих путева по којима кугла може да настави да се креће после одбијања, она увек “бира” онај који је и најкраћи. На то је указао грчки математичар из првог века пре нове ере Херон Александријски. Сада остаје да се сложимо око тога шта мислимо када кажемо елипса. Први који ју је проучавао као математичку криву био је Менехми (а кумовао јој је век касније велики геометар и астроном Аполоније из Перга у свом шестотомном делу “Конике”). Наново је за ову криву почео да интересује тек Јохан Кеплер (17. век), када је открио да су путање планета које се окрећу око Сунца елиптичне, чиме је формулисао први Кеплеров закон. Временом се накупило више различитих дефиниција, али с истим циљем. Једном се изјављује: „Елипса је пресек купе и равни која заклапа мањи угао са базом те купе, него ли са изводницом“. Друга нас обавештава: „Свака тачка елипсе је мање удаљена од неке сталне тачке (фокуса), него ли од неке праве (коју зовемо директриса)“. Трећа нам недвосмислено тврди да сечењем саламе под неправим углом припремамо предјело од елипсица. Дакле, Грци су је назвали елипса (ἔλλειψις), јер јој нешто фали. Ту није крај, јер описа елипсе има још, али за образложење непогрешивости билијарског стола посебно је занимљива једна.

„Елипса је скуп тачака за које важи да је збир растојања до сваког фокуса константан“

Сада нам преостаје да скупљено знање применимо на проблем одгонетања непогрешивости билијарског стола. Како по Херону кугла увек ”бира” најкраћи пут, а како код елипсе (по дефиницији) не постоји разлика међу путевима које кугла прелази од фокуса, преко мантинеле до другог фокуса, онда кугла коју ударите нема избора него да крене трагом судара с супарницом на другој страни стола. Одавде такође следи и супротан исход. Ако после првог ударца не погодите куглу, више никада нећете проћи ни кроз један од фокуса, макар се кугла безброј пута одбијала.

Први који је размишљао о кривим билијарским столовима био математичар Луис Керол познатији по књигама о девојчици Алиси.