Голдбахова хипотеза

Кристијан Голдбах (Christian Goldbah) је 1742. године формулисао следећу хипотезу: сваки број већи од 2 једнак је збиру 3 проста броја (Голдбах је и број 1 сматрао простим бројем). Ојлер је ову претпоствку преформулисао у следеће тврђење: сваки паран број већи од 2 је збир два проста броја. Данас је ова хипотеза позната као јака Голдбахова претпоставка.

Goldbach-without-lines-harlequin

Хипотеза је проверена за све бројеве мање од: 104 (Desboves, 1985), 4•1018 (Oliveira e Silva, 2012) .

Goldbach_partitions_of_the_even_integers_from_4_to_28

На слици изнад, парни бројеви од 4 до 28 представљени као сума два проста броја: парним бројевима одговара хоризонтална линија. За сваки прост број, постоје две косе линије, црвена и плава. Сума два проста броја је представљена кружићем у пресеку црвене и плаве линије. Kружићи на хоризонталним линијама дају све партиције од по два проста броја који у збиру дају парне бројеве.

Од марта 2000. до марта 2002. „Faber and Faber“ је нудио награду од 1 000 000 долара ономе ко ријеши ову хипотезу. Награда није уручена и до данас нико није доказао јаку Голдбахову претпоставку!

Advertisements

Гаврилова труба

Гаврилова труба (рог) (или Торичелијева труба) је фигура коју је открио Евангелиста Торичели. Има бесконачну површину, али коначну  запремину. Име се односи на традицију идентификовања анђела Гаврила који свирајући трубу најављује Судњи дан.

 

GabrielHorn

Гаврилова труба  добија се ротирањем  графика функције  y= \frac{1} {x}, са доменом x \ge 1 (чиме се избегава асимптота у x = 0),  око  х-осе. Ово тело  откривено је коришћењем Кавалијеријевог принципа, пре открића математичке анализе, али се данас анализа користи за израчунавање запремине и површине трубе између x = 1 и x = a, где a > 1. Помоћу интеграције је могуће наћи запремину V, и површину Р  тела:

V = \pi \int_{1}^{a} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi \left(1 - {1 \over a} \right)
P = 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x > 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1}}{x}\ \mathrm{d}x = 2\pi \ln a
a може бити произвољно велико, али се из једначине може видети да запремина трубе између x = 1, и x = a никад неће прећи \pi – међутим, она ће бити све ближа \pi како a расте.
Другачије речено, запремина тежи \pi када a тежи бесконачности, што је само још један начин да се каже да је запремина трубе једнака \pi.

truba2

Израз може бити записан помоћу лимеса :

\lim_{a \to \infty}\pi \left(1 - {1 \over a} \right) = \pi

Површина је већа од 2\pi пута природни логаритам од a. Не постоји горња граница за природни логаритам од a, како оно тежи бесконачности. То значи, у овом случају, да труба има бесконачну површину.  Запис помоћу лимеса има облик:

\lim_{a \to \infty}2\pi \ln a = \infty

GabrielsHorn

У време када је овај објекат откривен, сматран је парадоксним, јер се ротирањем бесконачне површине око икс-осе добија коначна запремина. Неформално, ово се може описати као да је потребна бесконачна количина фарбе да би се офарбала унутрашњост трубе, али би упркос томе било могуће напунити унутрашњу запремину коначном количином фарбе, и на тај начин обавити и унутрашњу површину.

Решење парадокса је у последици да је потребна бесконачна количина фарбе да би се офарбала бесконачна површина ако је слој фарбе константне дебљине; ово у теорији није тачно у унутрашњости трубе, и у пракси је већи део трубе недоступан за фарбу, посебно тамо где је пречник трубе мањи од пречника молекула фарбе. – Ако се узме да је слој фарбе без дебљине, требало би бесконачно дуго времена да фарба стигне све до „краја“ трубе.

Други начин на који се овај „парадокс“ може изложити је следећи: може се попунити труба фарбом, али нема довољно фарбе да се офарба њена спољашњост.

Торичели (1608 – 1647.) је био талијански физичар и математичар, најпознатији по свом изуму барометра.

Торичели Такође, познат је по открићу Торичелијеве трубе (данас можда познатије под чешћим именом Гаврилова труба). Ово откриће сматрало се  невероватним парадоксом у то време, чак и од самог Торичелија, и изазвало је жестоку расправу о природи бесконачности.

Фуријеова музика

Анализирајући слику звучних таласа, може се закључити да су то кривудаве линије које се у одређеном временском интервалу непрекидно крећу горе–доле. Различити облици одговарају другачијим звуцима. Када из стерео уређаја музика путује према звучницима, ради се о електронској верзији звука – о таласању напона у непрекидном, аналогном виду. Помоћу магнета и електромагнета, који је у звучнику повезан с мембраном која може да се покреће (вибрира) – поново се добија звук.

image020
Да би смо музику слушали на рачунару, звук, односно музика, морају најпре да се претворе у низове бројева. Најпознатији поступак је PCM (Pulse Code Modulation), који подразумева узимање узорака (енг. sampling) висине напона звучних таласа у великом броју узастопних тренутака. Једну секунду протеклог аналогног таласа, PCM аналогно-дигитални претварач описује помоћу 44.100 бројева. У случају кампактних (чврстих) дискова, сваки напон мери се с тачношћу од 16 бита, тако да може да се забележи чак 65.536 различитих напона. То значи да је овај начин омогућио шифровање било ког аналогног звука бројевима – и да ће њихово поновно претварање у звук дати такав квалитет да га људско ухо неће разликовати од оригинала.
Oвакав поступак захтевао је велики простор за смештај података – 10 мегабајта за сваки минут снимљене стерео музике! Зато су такви музички фајлови били превелики да би се у разумном времену размењивали преко Интернета. И ту је у помоћ позван Фурије.

Fourier2

Он је открио занимљиву појединост која постоји у свету који нас окружује: сваки талас, колико год он био сложен, састоји се од врло једноставних синусних таласа. То јест, Фурије је показао да сваки, па и звучни, талас може да се преобрати у низ једноставних синусних и косинусних таласа, различитих фреквенција и амплитуда. Њему у част, тај математички поступак назван је Фуријеова трансформација. Када се оваква збирка таласа претвори у низове бројева, они лако могу да се обрађују: музички снимци могу да се сабијају или да се смањује шум на њима.

SINUSNO_TALASNO_KRETANJE
Средином шездесетих година 20. века развијен је алгоритам који је био погодан да се примени и на рачунарима. Назван је „брза Фуријеова трансформација” (fast Furier transform – FFT). Амерички инжењер Р.А. Муг (Мoog) искористио је Фуријеову математику да изгради електронске музичке синтисајзере. Осамдесетих година јапанско електронско предузеће Јамаха (Yamaha) употребило је исту математику уводећи револуцију у музичку индустрију помоћу инструмената са електронским клавијатурама. Фуријеове једначине данас живе у облику MP3 фајлова и свако ко се дивио њиховој малој величини, могао је да се увери колико је овај алгоритам моћан у сабијању података.

ft
Треба рећи да се код MP3 фајлова не ради само о њиховом сабијању, већ пре о одбацивању непотребних података – онога што наш слух ионако неће моћи да чује (има доста тога што је непотребно, а нимало не угрожава квалитет звука). МР3 је скраћеница од МПег3 или тачније МПег – Левел 3. То је индустријски стандард који је 1992. године развио немачки институт Фрауенхофер (Fraunhofer Institute for Systems and Innovation Research)
.

Fraunhofer_Institute_for_Systems_and_Innovation_Research_(ISI)

Ради се о фајловима са изванредним степеном сабијања (тај степен се креће од 8 до 12 – у зависности од врсте извора). Другим речима,  10 МБ простора, колико је потребно за смештај једног минута hi fi музике на компакт-диску, могло би да се смањи и смести на само један мегабајт  коришћењем МP3 фајла на хард диску рачунара.
Најпре, МП3 дели опсег фреквенција долазног дигиталног аудио сигнала на 32 канала, које наш слух може да разликује једне од других. Свака од тих компоненти даље се разлаже на 18 делова помоћу Фуријеове трансформације, чиме се укупно добија 576 различитих фреквенцијских канала. У сваком од њих трага се за деловима које наш слух не може да чује и они се одбацују.
Добијени сигнал сабија се Хофмановим кодирањем, техником која је блиска стручњацима за рачунарство, а која вредности које се често понављају приказује краћим шифрама (кодовима) него што су шифре за описивање вредности које се ређе појављују. На пример, било би велико траћење простора ако би се користило 141.120 бита – колико је уобичајено код дигитализованог аудио фајла – за кодирање само 1/10 секунде тишине на некој песми. Исход целе ове математике? Чак ни на најсавршенијим уређајима за репродукцију звука већина људи неће уочити никакву разлику у квалитету.

hofmanov_kod

Још бржи Фурије

У јануару 2012. године, четворо истраживача са Масачусетског института за технологију унапредила су овај, један од најважнијих алгоритама у рачунарској науци.
Нови алгоритам, назван је проређена Фуријеова трансформација (Sparse Fourier transform – SFT), низови података могу да се обрађују 10 до 100 пута брже него што је могуће са FFT. Убрзање се добија јер подаци који су нам најважнији у великој мери имају неки облик – музика није насумичан шум. Њени сигнали су „оскудни” јер заузимају само део вредности коју сигнал може да носи. Технички израз за то је да је оваква информација проређена, раштркана (sparse). Пошто SFT алгоритам није намењен да ради са свим могућим токовима података, може да искористи пречице. У теорији, алгоритам који може да рукује с проређеним сигналима знатно је ограниченији од FFT.  ,,Проређеност је свуда”, наглашава Катаби, професор електротехнике и рачунарства на Масачусетском институту за технологију . „Она је у природи, у видео сигналима, у аудио сигналима.”

sfft
Бржа трансформација значи да је довољна и мања рачунарска снага да би се обрадила иста количина података – што представља посебну погодност за мобилне мултимедијске уређаје, као што су паметни телефони, јер се на тај начин штеди енергија. Или, да са истим износом енергије инжењери могу да изведу ствари које су са FFT биле неисплативе. Познато је да костур Интернета и рутери тренутно могу да прочитају и обраде само „капи” из „реке” бита која протиче између њих. Нов алгоритам, SFT, могао би истраживачима да омогући да много детаљније проучавају проток овог саобраћаја, док милијарде битова пролећу у секунди .

 

О великим бројевима

Врло велики бројеви најчешће се појављују у математици, космологији, криптографији (шифровању) и статистичкој термодинамици.Одавно су се научници договорили о начину писања превеликих и премалих бројева да их не би писали у децималној форми. Зато је усвојен тзв. научни начин писања таквих бројева, нпр. , који се састоји од коефицијент (а) називаног мантиса, и експонента, потенције или изложиоца (b), који може да буде било који реалан број.
Научни начин писања уведен је да би што лакше и прегледније могле да се пишу велике нумеричке вредности у научним текстовима. На пример, означава једну милијарду, 1 иза којег се налази 9 нула: 1 000 000 000, док означава један милијардити део, одн. 0,000 000 001. Писање 109 уместо јединице са девет нула значајно штеди простор у тексту али и штити оног ко чита од погрешног бројања нула.

100909114121-large

Француски математичар Николас Шукет (Nicolas Chuquet) (1445–1488), чије именовање великих бројева се базира на латинском нумеричком префиксу и суфиксу –илион, који означава 106. Данас користимо његов преправљени систем, који датира још од XVII века, и који смо преузели од Француза, али у нашој литератури се због нестручног превођења и непознавања материје налази свашта.
У области рачунара, још од 1965. године можемо да читамо о фамозном Моровом закону, који говори да ће се број транзистора по квадратном инчу дуплирати сваких 18 месеци. Тада водећи умови из те области поверовали су да ће рачунари ускоро моћи да реше било који математички проблем, без обзира колико он био компликован. То се није догодило, највише захваљујући ограничењима фундаменталне физике, али и неким другим ограничењима. Рецимо, неки теоријски резултати говоре да неки проблеми, као што је проблем заустављања, онемогућавају комплетирање решења, без обзира колико машина била јака или брза.

Начин именовања бројева јако замршен посао и да зависи од времена и од земље до земље.
Необичном броју, „гуголу“, име је дао девето годишњи дечак, рођак америчког математичара Едварда Каснера. Гугол је велики број 10100, који чини 1 и 100 нула: 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.
000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

Трилион 1.000.000.000.000

трилионКвадрилион 1.000.000.000.000.000

kvadrilionВигинтилион

vigintilion_ffЦентилион

centilion_ffГугол

Гугол је приближно 70! (факторијал од 70). У бинарном систему треба 333 цифре да се представи гугол, тј. 1 гугол = 2332,2, или тачније . 1 гугол  је „за мрвицу“ већи од највећег броја који обично може да се представи на већини ручних „дигитрона“, који износи 9,999…x 10Е99 приказан научним начином писања са двоцифреним експонентом. Обично је могуће израчунати 69! али не и 70!

Број је стекао јавну популарност након што је 2001. године био одговор на кључно питање у једној епизоди британске емисије „Желите ли да постанете милионер?“ Учесник је освојио 1 милион фунти али се касније открило да је варао, јер је у публици био човек који му је кашљуцањем сугерисао тачан одговор. Гугол  је и назив интернетске компаније Google, али су оснивачи L.Page и S.Brin погрешно спеловали име броја.

gugol_ffНаписан на папиру број изгледа прилично лепо, али је уствари гугол прави монструм!  Број кишних капи које су пале у читавој историји Земље, или број зрна песка на свим познатим и непознатим плажама и океанима у космосу ни близу нису гуголу!

Гуголплекс

Број-чудо, који се пише 10 на гугол!.

Астроном и популаризатор науке Карл Саган је у једној ТВ емисији изјавио да је писање гуголплекса на стандардни начин (као 1.000.000.000…итд.) физички немогуће, јер би то захтевало више места него што га нуди читав познати космос.

gugolpeks_ffГрахамов број

Грахамов број је толико велики да га је немогуће изразити уз помоћ степеновања. Деценијама се сматра највећим бројем који се користи у математичком доказу.

Морис Корнелис Ешер – уметник парадокса

Иако се чувени холандски графичар Мауриц Корнелис Ешер (1898-1972) никада није бавио математиком,његова чудновата дела која одликују оптичке варке и невероватне перспективе одувек су привлачиле математичаре. Посебно познат по својим представама парадоксалних и немогућих призора.

thumb-502-228

М.Ц. Ешер, холандски графичар, познат је по својим, често математички инспирисаним, дуборезима и литографији. Стварао је немогуће конструкције, истраживао је архитектуру и бесконачност. Рођен је 1898. године у Холандији, као најмлађе дете у породици.Ешер је био један од најизразитијих представника оп-арта и такозване немогуће уметност (impossible art). Овај вансеријски цртач и графичар проналазио је инспирацију у Ајнштајновој теорији релативитета и математичким теоремама произашлим из нееуклидовске геометрије, у астрономским посматрањима, теорији еволуције и Фројдовој психоанализи, али и у романтичним крајолицима Италије и у раскошним орнаментима маварске Алхамбре.

LW446H

„Мада сам апсолутни лаик у егзактним наукама, понекад ми се чини да сам ближи математичарима него својим колегама уметницима”, записао је једном приликом Ешер.

Многи популаризатори науке, попут Карла Сегана, Стивена Хокинга или Роџера Пенроуза, користили су управо Ешерове илустрације како би својим читаоцима приближили тешко схватљиве научне теорије. Један од аутора који је допринео постхумној популарности холандског графичара био је Даглас Хофштатер, аутор бестселера „Гедел, Ешер, Бах – Вечита златна нит“. У том научно популарном делу, објављеном 1980. године, Хофштатер је своју филозофију објаснио анализирајући и упоређујући Ешерово ликовно стваралаштво с математичким теоремама Курта Гедела и музиком Јохана Себастијана Баха.

Drawing-Hands

Истовремено, многи критичари замерали су Ешеру да припада елитној уметности, јер просечни посматрач није кадар да разуме његова дела.

blog-escher-reptiles

Био је оштроумни мислилац, уметник који, попут Леонарда да Винчија или Албрехта Дирера, изазива дивљење не само мајсторским цртежом, изведеним необично прецизним и стрпљивим потезима леве руке, него и интелектуалном снагом и дубином своје креативности. Цртежи и графике Мориса Ешера представљају уметнички уобличене мозгалице које подстичу интелект да трага за одговорима на најсложенија и најзагонетнија питања универзума.

Немогућа уметност

Током свог раног стваралаштва Ешер је направио неколико десетина пејзажа, углавном дрвореза. Ти пејзажи настали су током путовања по Италији, Швајцарској, Белгији, као и током боравка на Корзици и Малти. Иако су пажљиво исцртани, у апсолутно реалистичком стилу, ти радови се одликују необичним угловима посматрања: призори градова приказани су из птичје перспективе или с веома велике раздаљине.

blow1[1]

Један од Ешерових типичних радова заснованих на просторном парадоксу јесте „Изложба гравира“, где је визуелним поигравањем створена илузија да призор са једне од слика у галерији припада стварности нацртаног посматрача изложбе. Младића који разгледа изложене радове посматра жена с једне од гравира. Упадљиво закривљеном перспективом Ешер је постигао ефекат тродимензионалности, који ствара утисак да је жена са гравире у истој просторној и временској равни с младим посетиоцем изложбе.

Moris Ešer Leptiri

Заинтересован за топологију, у многим својим радовима приказивао је такозване немогуће фигуре, попут Пенроузових бесконачних степеница или Мебијусове бескрајне траке. Своје оптичке илузије и „немогуће фигуре“ стварао је углавном уз помоћ светлости и сенке, а међу најимпресивнијм гравирама заснованим на овим визуелним варкама су „Водопад“, „Белведере“, „Узбрдо и низбрдо“.

escher_by_chauloom

Један од најзначајнијих мотива у Ешеровом стваралаштву јесте метаморфоза, односно постепени преображај једног облика у други. Инспирацију за ову тему проналазио је у теорији еволуције и у геометрији, стварајући оригиналне мозаике сачињене од низова геометријских фигура или стилизованих животињских силуета које се мењају детаљ по детаљ и претварају у нове облике, односно живе врсте. Једно од његових типичних геометријских поигравања, инспирисано средњовековним маварским стилом, јесте такозвано поплочавање, односно исцртавање површине сложеним, стилизованим геометријским обрасцима, који се савршено међусобно уклапају тако да не остављају ни трунку празног простора. Инспирисан чланком канадског математичара Доналда Коксетера о систему образаца који се умањују сразмерно својој удаљености од центра, Ешер је створио и низ радова заснованих на том мотиву.

escher1

Његово здравље се током шездесетих година нагло погоршало. Почетком те декаде уметник је преживео једну веома тешку операцију, након чега је дуго лежао у болници, а недуго након тога морао је још једном да се оперише. Неколико последњих година живота провео је у старачком дому јер му је била неопходна стална нега. Његова жена Јета је крајем 1968. године одлучила да се врати у своју домовину Швајцарску, јер никада није била задовољна животом у Холандији. Ешер је умро 27. марта 1972. од рака желуца.

Љубитељ астрономије

Морис Ешер је био и велики љубитељ астрономије, којој се посебно посветио након повратка у Холандију. Био је члан холандског Друштва за метеорологију и астрономију, а код куће је имао неколико мањих телескопа, помоћу којих је посматрао звезде. Астрономске теме доминирају у многим његовим радовима у којима се открива уметникова тежња да истражи везу геометрије и физичког уређења космоса. Таква је, рецимо, графика „Звезде“, на којој су представљени камелеони заробљени у сложеном геометријском објекту налик на звезду.

Ахил и корњача

У  трци, најбржи тркач никада не може престићи најспоријег, зато што гонитељ прво мора доћи до тачке одакле је гоњени пошао, па према томе најспорији увек има предност.“

Аристотел

socrates

Вековима се стотине филозофа, математичара и других мислћих људи ,,мучи“ са Зеноновим парадоксом, тражећи грешку у његовом резоновању. Најчешће се полемика води око поделе коначног интервала на бесконачнан број делова. Интересантно је рећи да је за све време једва запамћено име неког од његових критичара, а да при том Зеноново име није избледело. Може се слободно поставити питање да  ли је могуће да је Зенон био у праву, и да постоји нека реална ситуација и простор у коме његов модел функционише.

Picture1Зенонов парадокс изгледа овако:

Замислите да трче Ахил и корњача. Ахил трчи 10 пута брже од корњаче, али почиње од тачке А, 100 метара иза корњаче која је у тачки К1 (корњачи ,која је спорија, дата је предност). Да би престигао корњачу, Ахил мора прво доћи до тачке К1. Међутим, када је Ахил стигао до тачке К1, корњача је прешла 10 метара и дошла до тачке К2. Поново Ахил трчи до К2. Али, као и пре, када је прешао 10 метара корњача је метар испред њега, код тачке К3, и тако даље (корњача ће увек имати предност над Ахилом, ма колико мала она била). Према томе Ахил никада не може престићи корњачу.

Picture2

Зенону и осталим Елејцима, као и свима нама, јасно је да се одапета стрела помиче и да Ахилеј (или било који други човек) може стићи корњачу. Међутим, овим парадоксом Зенон је желео да покаже да нас поистовећивање материјалног кретања са идеалним математичким односима доводи до контрадикције са личним искуством. То значи да наука о простору и кретању не може бити утемељена на математичким сазнањима него искључиво на личном искуству.

Проблем Ахилејева стизања корњаче решила је теорија конвергентних редова – геометријски ред. Ахилеј ипак и математички стиже корњачу, али то је тема неке друге приче.

Picture3

Архимедов проблем стоке

У глави Архимедовој било је више маште неголи у Хомеровој.
                                                                                                      Волтер 

Ако си марљив и мудар, странче, израчунај број
Сунчевих говеда што су недавно пасла на пољима
Тринакије на отоку Сицилији, подељених у четири стада
различитих боја: једног белог као снег, другог
бљештаво црног, трећег жутог и четвртог шареног.
У сваком је стаду било мноштво бикова:
Број белих био је једнак збиру половине и трећине
црних и још томе треба додати све жуте.
Број црних добија се када четвртини и петини шарених
додамо и све жуте.
Знај да је шарених било колико је збир шестине
белих и њихове седмине, а њима треба додати и све жуте.
А ево колико је крава било:
Белих је било тачно онолико колико износи трећина и
четвртина целокупног крда црних.
Број црних био је једнак збиру четвртине и петине све шарене стоке.
Шарених је крава било онолико колики је зброј петине и
шестине све жуте стоке у стаду.
На крају, жуте су краве по броју биле једнаке
збиру шестине и седмине белога крда.
Могнеш ли, странче, тачно рећи број Сунчевих
говеда, утврдивши поjeдиначно број гојних бикова и
број крава према њиховој боји, нећу те држати
невештим  и незналицом по питању бројева, али још
увек те нећу убројати  међу мудре.

Али, хајде размисли још и о овим услоима који се
односе на Сунчева говеда:
Кад се бели волови измешају са црнима и
распореде тако да у ширину стане једнако као у
дубину, испуниће се долина Тринакије њиховим
мноштвом.
А ако се жути и шарени бикови сакупе у једно крдо
тако да међу њима не буде ниједног вола друге
боје нити иједан од жутих или шарених не узмањка,
они ће се моћи распоредити тако да им број по
редовима расте, почев од броја један, па се тако
напуни триангуларни број.
Можеш ли, странче, решити све ово, завршићеш
окружен славом и сматраће те ненадмашним у
мудрости.

arh

Овај проблем познат је као Архимедов проблем стоке. Написан је у форми епиграма у 44 реда, а ово је његов слободан превод.
Епиграм је кратка песничка форма, обично писана у елегијском дистиху. Присутaн је у старогрчкој књижевности. Коришћен је и као јавна или пригодна порука (честитка, посланица, молба). Облик епиграма имале су и ругалице како неким особама,тако и  догађајима у пишчевој околини. Тако је и овај Архимедов епиграм настао као својеврстан његов одговор на зановетања Аполонија из Перга (262.–190. г. пне) који је Архимеду пребацивао да је склон математичким проблемима чије решавање захтева напорна и дуготрајна рачунања. Архимед је осмислио нумерички  захтеван проблем, који је послао Ератостену из Кирене (275.–195. г. пне). Инспирацију је врло вероватно пронашао у Хомеровој Одисеји.
Иначе, сам проблем појавио се 1773. године у преводу немачког писца Gottholda Ephraima Lessinga (1729.–1781.). Лесинг је био библиотекар у познатој библиотеци у Wolfenbüttelu. Библиотека је садржала бројне рукописе и дела писана на грчком и латинском
језику и он је, проучавајући и преводећи неке од њих, наишао и на проблем стоке.
Опште решење проблема дао је 1880. године немачки математичар A. Amthor  који је показао да је резултат приближно једнак 7.76· 10 206 544 , што је број са 206 545 знаменки и да су његове прве четири  цифре 7760. Један неформални скуп под називом The Hillsboro Mathematical Club коју су чинили математичари E. Fish, G. H. Richards и A. H. Bellу годинама 1889. до 1893. израчунали су прву 31 и последњих 12 цифара најмањег решења проблема. Резултат је објављен у часопису American Mathematical Monthly.
7760271406486818269530232833209 …
У познатом часопису American Mathematical Monthly Vardi пише: Једноставност проблема и сложеност решења сјајан су изазов, а сам је проблем још један прилог тврдњи да је Архимед један од највећих математичара свих времена.
LoonyGearsAnimation