Геодезијска купола

Геодезијска купола представља најлакшу, најснажнију и најјефтинију икад измишљену  грађевинску структуру. Дизајнирана је тако да покрије максимални простор без унутрашње потпоре. Обликована је на принципима одрживости, нема основу, а направљена је од троугластих, пентагоналних и хексагоналних облика. Што је већа, она постаје лакша и јача!

геод

Геодезијске куполе настају итерацијом из неког почетног Платоновог полиедра, тако да се у вишем степену геодезијске итерације приближавају сфери, односно, геодзијске сфере настају од полиедара процесом геодезијске триангулације његових страна и пројектовањем тих троуглова на сферу описану око полиедра. Са теоријског аспекта, геодезијска линија је најкраћа линија између две тачке на математички дефинисаној површи. Полусфера, разложена на криволинијске троуглове, чије су странице њене геодезијске линије, чине геодезијску куполу. Тако настају тетраедарска, октаедарска,хексаедарска, додекаедарска и икосаедарска геодезијска купола.

gg Процес претварања икосаедра геодезијском триангулацијијом у геодезијску сферу

Обликована на принципима одрживости, купола нема темељ, а направљена је од троугаоних, пентагоналних и хексагоналних облика. Као таква у њој одјекује основна геометрија свемира, од мале молекуларне структуре до односа међу звездама. Без унутрашње потпоре може прекрити простор већи од било које друге конструкције те врсте. Што је већа, она постаје пропорционално лакша и снажнија.

geodezijska_kupola_630

Истраживајући различите опције енергије и материјално-ефикасне градње, Ричард Бакминстер Фулер (Buckminster Fuller; Милтон,Масачусетс, САД, 1895-1983.), амерички архитекта, дизајнер, филозоф, проналазач и писац дошао је до важних закључака. У току свог живота био је у потпуности посвећен свом истраживачком раду. Донео је револуцију у поље дизајна и архитектуре.

bu

Ричард Бакминстер Фулер

Дошао је до закључка да геодезијска купола има велике носеће способности управо због свог облика. Тежина је распоређена равномерно, што  омогућава њену велику издржљивост. Има одличне  аеродинамичке особине. Облик геокуполе омогућава велику отпорност чак и најмоћнијим ветровима  и ураганима!

гед2

Највећи његови резултати и светска слава дошли су тек након другог светског рата, односно при крају пете деценије живота . До 1957. усавршио је дизајн и израду до те мере да је огромна геодезијска купола, са читавим амфитеатром у њој била конструисана у Хонолулуу за свега 22 сата. Фулер је 1960. године пројектовао футуристичку куполу пречника 4 километра која би прекривала центар Менхетна ради контроле микроклиме. Израчунао је да би се читава градња исплатила за десет година само од уштеде на чишћењу снега!

geodezijska-kupola

Монтреалска ,,биосфера“

Најимпресивнија од његових изграђених геодезијских купола је тро-четвртинска сфера – 61 метара висока и 76 метара у пречнику – коју је дизајнирао за павиљон САД на Светској изложби у Монтреалу 1967. године. Мрежа челичних греда формирана је од спољашњег слоја троугластих и шестоугаоних јединица повезаних за унутрашњи слој шестоуглова. Слој акрилних панела осигурао је потпуну провидност независно од повремених затварања троугластих стакала програмираних да реагују на вишак Сунчеве светлости. То је био корак према Фулеровом идеалу геодезијске мембране подједнако осетљиве и прилагодљиве попут људске коже. Попут Гаудија, Ешера и других генијалних стваралаца 20. века, и Фулер је увек изнова налазио инспирацију и мотиве у природи и чудесним производима природне еволуције.

fuller_stamp.1338                                              Поштанска марка Фулеру у част

Геодезијска купола представља, како је сам Фулер увек без устручавања истицао, најбољи начин да се обезбеде људска станишта на Месецу, Марсу или другим небеским телима. Он је одлично схватао значај свемира за будућност човечанства и дубоко је веровао у максиму Циолковског: „Земља је колевка човечанства, али ко жели да цео живот проведе у колевци?“

Чињеница је да идеју, да се формира полиедар што приближнији сфери са малим бројем различитих дужина ивица, није ни мало лако задовољити. Велики број студија, радова и пројеката Бакминстера Фулера на примени геодезијских купола у архитектури нису значајни само за развој архитектонског инжењерства.

dd

Гаврилова труба

Гаврилова труба (рог) (или Торичелијева труба) је фигура коју је открио Евангелиста Торичели. Има бесконачну површину, али коначну  запремину. Име се односи на традицију идентификовања анђела Гаврила који свирајући трубу најављује Судњи дан.

 

GabrielHorn

Гаврилова труба  добија се ротирањем  графика функције  y= \frac{1} {x}, са доменом x \ge 1 (чиме се избегава асимптота у x = 0),  око  х-осе. Ово тело  откривено је коришћењем Кавалијеријевог принципа, пре открића математичке анализе, али се данас анализа користи за израчунавање запремине и површине трубе између x = 1 и x = a, где a > 1. Помоћу интеграције је могуће наћи запремину V, и површину Р  тела:

V = \pi \int_{1}^{a} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi \left(1 - {1 \over a} \right)
P = 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x > 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1}}{x}\ \mathrm{d}x = 2\pi \ln a
a може бити произвољно велико, али се из једначине може видети да запремина трубе између x = 1, и x = a никад неће прећи \pi – међутим, она ће бити све ближа \pi како a расте.
Другачије речено, запремина тежи \pi када a тежи бесконачности, што је само још један начин да се каже да је запремина трубе једнака \pi.

truba2

Израз може бити записан помоћу лимеса :

\lim_{a \to \infty}\pi \left(1 - {1 \over a} \right) = \pi

Површина је већа од 2\pi пута природни логаритам од a. Не постоји горња граница за природни логаритам од a, како оно тежи бесконачности. То значи, у овом случају, да труба има бесконачну површину.  Запис помоћу лимеса има облик:

\lim_{a \to \infty}2\pi \ln a = \infty

GabrielsHorn

У време када је овај објекат откривен, сматран је парадоксним, јер се ротирањем бесконачне површине око икс-осе добија коначна запремина. Неформално, ово се може описати као да је потребна бесконачна количина фарбе да би се офарбала унутрашњост трубе, али би упркос томе било могуће напунити унутрашњу запремину коначном количином фарбе, и на тај начин обавити и унутрашњу површину.

Решење парадокса је у последици да је потребна бесконачна количина фарбе да би се офарбала бесконачна површина ако је слој фарбе константне дебљине; ово у теорији није тачно у унутрашњости трубе, и у пракси је већи део трубе недоступан за фарбу, посебно тамо где је пречник трубе мањи од пречника молекула фарбе. – Ако се узме да је слој фарбе без дебљине, требало би бесконачно дуго времена да фарба стигне све до „краја“ трубе.

Други начин на који се овај „парадокс“ може изложити је следећи: може се попунити труба фарбом, али нема довољно фарбе да се офарба њена спољашњост.

Торичели (1608 – 1647.) је био талијански физичар и математичар, најпознатији по свом изуму барометра.

Торичели Такође, познат је по открићу Торичелијеве трубе (данас можда познатије под чешћим именом Гаврилова труба). Ово откриће сматрало се  невероватним парадоксом у то време, чак и од самог Торичелија, и изазвало је жестоку расправу о природи бесконачности.

О геометрији хоризонта

Када се посматрач налази на морској пучини или на равном пољу, у даљини ће запазити линију на којој се ,,небо са Земљом састаје. “ Уколико се окрене око себе, схватиће да је у центру круга. Да ли је тај круг реалан? Постоји ли заиста линија коју посматрач види? Да тој линији приђе и провери њено постојање, вероватно се у то неће упуштати. Док се буде кретао према њој, она ће се непрестано удаљавати. Међутим, то што је не може нагазити или ухватити руком, није доказ да линија не постоји.  Та граница је линија хоризонта.

 Висина линије хоризонта

Једна од заблуда је да линија хоризонта увек лежи у висини очију. Чак и када се посматрач пење на већу висину и она се пење заједно са њим. На пример, ако се посматрач налази у авиону на довољно великој висини, изгледаће му да свака тачка на земљи лежи испод линије хоризонта. То је оптичка варка. На следећој скици посматрач који стоји на равном земљишту и посматрача који лети балоном.

попис

Ову оптичку варку описао је и објаснио Едгар Алан По у ,,Доживљајима Ханса Пфала’’. ,,Пре свега, мене је зачудило то што ми се површина Земље учинила удубљеном. Ја сам очекивао да ћу је неизоставно видети испупчену кад се будем пео увис; тек сам размишљањем нашао објашњење те појаве. Вертикална права повучена од мог балона ка Земљи чинила би катету правоуглог троугла чија би основица била дуж од подножја вертикале до линије хоризонта, а хипотенуза дуж од линије хоризонта до мог балона. Али, моја је висина била ништавна у поређењу са видним пољем; другим речима, основица и хипотенуза замишљеног правоуглог троугла биле су толико велике у поређењу са вертикалном катетом да сам их могао сматрати скоро паралелним. Зато свака тачка која се налази управо под летачем увек изгледа да лежи испод нивоа хоризонта. Отуда утисак удубљености. И то ће се продужити све док висина успона не постане толико велика да основица троугла и хипотенуза престану да изгледају паралелне.’’  Треба можда објаснити неколико детаља из овог одломка. Рецимо, вертикала о којој говори писац, није права већ дуж FD нормална на површину Земље у тачки D. Она представља прву катету. Оно што је у тексту названо основицом, заправо је друга катета. На нашој слици то је дуж DА. Такође се може приметит да аутор угао FDA третира као прав, иако он то није. Ипак, за то се може наћи реално оправдање. Ако са С означимо средиште Земље, тада је FSA подударан спуштању хоризонта у тачки Ф. Величину тог угла можемо добити из вредности косинуса :
cos а = R/(R+h) , где смо са a обележили FSA, са R полупречник Земље, a сa h висину на којој се налази око посматрача. Добија се да је угао a толико мали  AFD  и  ADF може се сматрати веома блиским правом углу.

 Удаљеност хоризонта

Питање ,,колико је далеко хоризонт’’  је уопштено да би се на њега могло прецизно одговорити. Јер, удаљеност хоризонта зависи од великог броја чинилаца који на њу битно утичу. Неки од њих су: облик рељефа, висина стајалишта, висина посматрача, атмосферске прилике. Међутим, овај проблем може се преформулисати, и дати му облик класичног, чак и једноставног, геометријског задатка.
Нека човек просечне висине стоји на равном земљишту. Хоризонт је тада круг у чијем се центру налази сам посматрач. Да би се одредила удаљеност хоризонта, потребно је наћи полупречник поменутог круга.

h2Нека је  S тачка која на слици представља средиште Земље, а  R Земљин полупречник. Нека је  C тачка у која се налази око посматрача, D стајалиште, а  h висина посматрачевих очију у односу на тло. Праве m и n су тангенте из тачке C које додирују Земљину површину у тачкама M и N. Задатак се своди на израчунавање дужине дужи CМ, односно CN. Троугао CMS је правоугли са правим углом код темена М. Дужину дужи CM добићемо примењујући Питагорину теорему.

CM²=(R+h)²-R²
=R²+2Rh+h2-R²
=2Rh+h2

CM²=h(2R+h)

Висина посматрачевог ока веома је мала у односу на Земљин пречник, па се уместо 2R+h може у израз укључити чинилац 2R, без страха да ће се значајно изменити резултат. Тиме ће се и формула упростити:

CM²=2Rh
CM= 

Полупречник Земље износи 6378 km, али се због једноставнијег рачунања у формулу може ставити R=6400 km. Тада је

CM=
CM=80
CM=113,14 

Можемо се сматрати да се удаљеност хоризонта на Земљи рачуна по следећој  формули:

удаљеност хоризонта=113 

а за удаљеност хоризонта на било ком небеском телу важи следећа формула:

удаљеност хоризонта=√2Rπ

при чему је R полупречник одређеног небеског тела, а х висина ока посматрача. Ако претпоставимо да се око одраслог човека налази на висини од 1.7m односно 0.0017 km над Земљином површином, добијамо да је:

удаљеност хоризонта=113 √0,0017 km =4.66 km

Овај рачун је геометријски веома упрошћен, али се не смеју занемарити физички фактори који утичу на удаљеност линије хоризонта. Најважнији међу њима је атмосферска рефракција. Преламање светлосних зракова у атмосфери повећава удаљеност хоризонта за 1/15 израчунате удаљености; можемо рачунати за око 6%. Када тај проценат додамо резултату до ког се претходно дошло, добија се прецизније решење:

4.66+0.06∙4.66=4.94km

Како  6% представља само просек., треба узети у обзир да се удаљеност хоризонта увећава или умањује зависно од многих услова, и то:

увећава  

–при високом атмосферском притиску,
–близу Земљине површине,
–по хладном времену,
–изјутра и увече,
–по влажном времену,
–над морем;

умањује
–при ниском атмосферском притиску,
–на висини,
–по топлом времену,
–преко дана,
–по сувом времену,
–над копном.

horizon_diagram

Мебијусова трака

Мебијусова трака представља површ са само једном страном и само једном граничном компонентом. Класичан је пример површи која је неоријентабилна.

Модел траке може се лако направити, тако што је потребно узети папирну траку, један њен крај треба уврнути за π а онда крајеве спојити.

papirna

Мебијусова трака је површина са једном страном и једном граничном компонентом. Има више занимљивих различитих својстава. Посебно интересантна чињеница је та да ако се узме оловка и исцрта непрекидна линија по траци ‘’обе стране’’
папира, могуће је исцртати без подизања оловке.

normala

Принцип добијања Мебијусове траке је веома инспиративан и занимљив. Различитим увијањем и савијањем једне траке оптималне ширине,дужине и дебљине могуће је добити занимљиве облике. Уколико нас машта поведе, могуће је направити низ различитих форми које могу бити инспиративне за стварање објеката на основу добијене геометрије.

Чувена трака смишљена је 1858. године, а названа је према немачком математичару Аугусту Фердинанду Мебијусу. Не знајући за дело свог земљака, исто је открио други Немац, Јохан Бенедикт Листинг, и остао такорећи непознат.

Замислите да је то увијени пут којим идете: свеједно је да ли сте кренули лево или десно, увек ћете стићи на полазиште. Као када бисте се запутили на пут око света пратећи најдужи упоредник на планети – екватор.

 О бесконачним тракама

Трака је, математички речено, променљива површина јер је можете спљоштити или развући у кружницу, а да она задржи основно својство тзв. савијене бесконачности. Захваљујући ускладиштеној густини енергије – што је последица савијања – Мебијусова трака сачува извесну гипкост као свака опруга која се, после истезања, враћа у пређашње стање. Места на којима је највише пресавијена (превоји) одликују се најјачом гипкошћу (енергија), насупрот онима на којима је најмање савијена.

Тридесетих година прошлог столећа појавили су се стручни чланци настојећи да појаву објасне иако је – на први поглед – свако дете умело да је начини, али научници нису знали да објасне како такви геометријски облици настају. Двојица истраживача из Велике Британије (из имена и презимена се види да су пореклом из других земаља) најзад су расветлили вишедеценијску тајну. У својем подухвату искористили су двадесетак година старе, непознате једначине, без којих не би то били кадри да остваре своју замисао.
moebius91
И јасно се показало да облици трака зависе од дужине и ширине изрезаних правоугаоника. Уколико се ширина сразмерно повећава с дужином, мења се густина енергије на пресавијањима, а према томе и облик. Управо на ту заборављену математичку чињеницу, коју су углавном пренебрегавали стручњаци за механику, скреће пажњу Јевгениј Старостин.

Математичари и уметници су, сваки за себе, играјући се разноразним исечцима хартије, покушавали да проникну у суштину Мебијусових трака. Тако је швајцарски скулптор Макс Бил 1936. умислио да је дочарао „бесконачну врпцу“ обликујући пламене језичке који су се уздизали из ватре. Утркивали су се архитекте, песници, градитељи, инжењери… Неки су чак  смишљали „бескрајне траке“ које су целом дужином трпеле исти притисак, а то је значило дуже трајање. У једном тренутку  се поверовало да ће магнетофонске врпце тако удвостручити време обртања.

Mobius-Strip

Јевгениј Старостин у својим замислима тежи даље: исти принцип је примењиво на бокор зелене салате или на хемијске превлаке. „Надамо се да ћемо, најзад, схватити како се и зашто тако пресавију и згужвају“, закључује он. „Замислите само колико је у том смислу разнородно и сложено лишће појединих биљака.“

У еуклидовском (геометријском) простору који једино опажамо појављују се, у суштини, две врсте Мебијусових трака, зависно од полуувртања – у смеру казаљке на сату и обратно. Отуда је она као ваша слика у огледалу, са супротним усмерењем: испало би да сте себе срели са истуреном десном руком, иако сте на пут пошли испруживши леву да се са неким незнанцем рукујете.

 меб

Логаритамска спирала

Уметничко дело одређују многобројни елементи који чине његову форму, а тиме и његов смисао, хармонију и лепоту. Све то представља његову везу са космичким и суштинским у свету и човеку. Тако и различити геометријски елементи представљају део уметничког стваралаштва у смислу бављења формом уметничког дела или симболиком геометријских фигура и геометријских апстракција. Човек од античких времена трага за елементима који представљају симболе општег поретка и основних материја које одређују свет. Питагора први говори о складу и хармонији у свемиру: Све у природи је однос, мера и број. Појам хармоније везује се за симетрију, правилност и идеалне облике. Уметничка дела уз идеал симетрије садрже и златни пресек, као најсавршенију композицију којом се избегава статичност симетрије у компоновању. То је такав однос дужина да се оне једна према другој односе као њихов збир према већој. Овај израз има бројну вредност 1+5/2=1.618….. .Многи уметници касније, нарочито ренесансни, сматрају овај однос посебно складним, док се на пример у далекоисточним земљама правоугаоник са овим односом станица не сматра естетски складним. Они су више ценили далеко издуженије правоугаонике. Геометријски елемент који је такође заступљен у уметности је спирала. Спиралом се први бави један од највећих математичара хеленистичке епохе, Архимед. По њему је и названа спирала са једначином r = a + bθ где је θ поларни угао, а r потег.

Archimedean_spiral.svg Још инспиративнија јесте логаритамска спирала , чија је једначина r = abθ.

Logarithmic_spiralОва крива била је фасцинација швајцарског математичара Јакоба Бернулија. Многе њене занимљиве особине учинили су да је овај научник назове Spira mirabilis и напише: увек се рађа сама из себе и сама себи слична, увек иста ако је увијемо или одвијемо, рефлектујемо или поделимо; може се сматрати симболом снаге, истрајности и непроменљивости код противуречних и конфликтних стања и прилика, али и симболом људског тела које после свих својих промена, чак и после смрти васкрсава у свом правом и савршеном обличју. Бернули је изразио жељу да се логаритамска спирала са натписом Eadem mutata resurgo (преображена, враћам се опет иста) стави на његов гроб. Његова жеља је у неку руку испуњена, али се уместо логаритамске,вероватно због незнања, нашла Архимедова спирала.

Сигурно је да ниједна крива за научнике, уметнике и филозофе природе није имала већу привлачну снагу од логаритамске спирале. Због допадљивог облика јављала се од времена антике као омиљен декоративни мотив, а са друге стране , уочавана је на неочекиваним местима у природи.fosilkf6

logarithmic-spirals-apod-080517

173337847_201e432aac

chameleonОва крива појављује  се још на критској грнчарији (2000-1700.п.н.е.) не динамичким орнаментима чинећи њихову ритмичност и таласасте покрете који симболизују живот мора. Могуће је успоставити везу између логаритамске спирале и златног пресека. Полазећи од једног произвољног златног правоугаоника, може се доћи до новог чија се дужина поклапа са ширином првобитног. Овај поступак може се поновити неограничен број пута и води до бесконачног низа златних правоугаоника чије се димензије смањују и теже нули. Ови правоугаоници описују једну логаритамску спиралу која се још зове и (златна спирала( и појављује се у многим декоративним мустрама у делу Едвардса Ликови и мустре са динамичком симетријом.

il_fullxfull.35292979

images

2306D68A9

tumblr_lqey6aF6W81qfqcw0o8_500_large

Ахил и корњача

У  трци, најбржи тркач никада не може престићи најспоријег, зато што гонитељ прво мора доћи до тачке одакле је гоњени пошао, па према томе најспорији увек има предност.“

Аристотел

socrates

Вековима се стотине филозофа, математичара и других мислћих људи ,,мучи“ са Зеноновим парадоксом, тражећи грешку у његовом резоновању. Најчешће се полемика води око поделе коначног интервала на бесконачнан број делова. Интересантно је рећи да је за све време једва запамћено име неког од његових критичара, а да при том Зеноново име није избледело. Може се слободно поставити питање да  ли је могуће да је Зенон био у праву, и да постоји нека реална ситуација и простор у коме његов модел функционише.

Picture1Зенонов парадокс изгледа овако:

Замислите да трче Ахил и корњача. Ахил трчи 10 пута брже од корњаче, али почиње од тачке А, 100 метара иза корњаче која је у тачки К1 (корњачи ,која је спорија, дата је предност). Да би престигао корњачу, Ахил мора прво доћи до тачке К1. Међутим, када је Ахил стигао до тачке К1, корњача је прешла 10 метара и дошла до тачке К2. Поново Ахил трчи до К2. Али, као и пре, када је прешао 10 метара корњача је метар испред њега, код тачке К3, и тако даље (корњача ће увек имати предност над Ахилом, ма колико мала она била). Према томе Ахил никада не може престићи корњачу.

Picture2

Зенону и осталим Елејцима, као и свима нама, јасно је да се одапета стрела помиче и да Ахилеј (или било који други човек) може стићи корњачу. Међутим, овим парадоксом Зенон је желео да покаже да нас поистовећивање материјалног кретања са идеалним математичким односима доводи до контрадикције са личним искуством. То значи да наука о простору и кретању не може бити утемељена на математичким сазнањима него искључиво на личном искуству.

Проблем Ахилејева стизања корњаче решила је теорија конвергентних редова – геометријски ред. Ахилеј ипак и математички стиже корњачу, али то је тема неке друге приче.

Picture3

Архимедов проблем стоке

У глави Архимедовој било је више маште неголи у Хомеровој.
                                                                                                      Волтер 

Ако си марљив и мудар, странче, израчунај број
Сунчевих говеда што су недавно пасла на пољима
Тринакије на отоку Сицилији, подељених у четири стада
различитих боја: једног белог као снег, другог
бљештаво црног, трећег жутог и четвртог шареног.
У сваком је стаду било мноштво бикова:
Број белих био је једнак збиру половине и трећине
црних и још томе треба додати све жуте.
Број црних добија се када четвртини и петини шарених
додамо и све жуте.
Знај да је шарених било колико је збир шестине
белих и њихове седмине, а њима треба додати и све жуте.
А ево колико је крава било:
Белих је било тачно онолико колико износи трећина и
четвртина целокупног крда црних.
Број црних био је једнак збиру четвртине и петине све шарене стоке.
Шарених је крава било онолико колики је зброј петине и
шестине све жуте стоке у стаду.
На крају, жуте су краве по броју биле једнаке
збиру шестине и седмине белога крда.
Могнеш ли, странче, тачно рећи број Сунчевих
говеда, утврдивши поjeдиначно број гојних бикова и
број крава према њиховој боји, нећу те држати
невештим  и незналицом по питању бројева, али још
увек те нећу убројати  међу мудре.

Али, хајде размисли још и о овим услоима који се
односе на Сунчева говеда:
Кад се бели волови измешају са црнима и
распореде тако да у ширину стане једнако као у
дубину, испуниће се долина Тринакије њиховим
мноштвом.
А ако се жути и шарени бикови сакупе у једно крдо
тако да међу њима не буде ниједног вола друге
боје нити иједан од жутих или шарених не узмањка,
они ће се моћи распоредити тако да им број по
редовима расте, почев од броја један, па се тако
напуни триангуларни број.
Можеш ли, странче, решити све ово, завршићеш
окружен славом и сматраће те ненадмашним у
мудрости.

arh

Овај проблем познат је као Архимедов проблем стоке. Написан је у форми епиграма у 44 реда, а ово је његов слободан превод.
Епиграм је кратка песничка форма, обично писана у елегијском дистиху. Присутaн је у старогрчкој књижевности. Коришћен је и као јавна или пригодна порука (честитка, посланица, молба). Облик епиграма имале су и ругалице како неким особама,тако и  догађајима у пишчевој околини. Тако је и овај Архимедов епиграм настао као својеврстан његов одговор на зановетања Аполонија из Перга (262.–190. г. пне) који је Архимеду пребацивао да је склон математичким проблемима чије решавање захтева напорна и дуготрајна рачунања. Архимед је осмислио нумерички  захтеван проблем, који је послао Ератостену из Кирене (275.–195. г. пне). Инспирацију је врло вероватно пронашао у Хомеровој Одисеји.
Иначе, сам проблем појавио се 1773. године у преводу немачког писца Gottholda Ephraima Lessinga (1729.–1781.). Лесинг је био библиотекар у познатој библиотеци у Wolfenbüttelu. Библиотека је садржала бројне рукописе и дела писана на грчком и латинском
језику и он је, проучавајући и преводећи неке од њих, наишао и на проблем стоке.
Опште решење проблема дао је 1880. године немачки математичар A. Amthor  који је показао да је резултат приближно једнак 7.76· 10 206 544 , што је број са 206 545 знаменки и да су његове прве четири  цифре 7760. Један неформални скуп под називом The Hillsboro Mathematical Club коју су чинили математичари E. Fish, G. H. Richards и A. H. Bellу годинама 1889. до 1893. израчунали су прву 31 и последњих 12 цифара најмањег решења проблема. Резултат је објављен у часопису American Mathematical Monthly.
7760271406486818269530232833209 …
У познатом часопису American Mathematical Monthly Vardi пише: Једноставност проблема и сложеност решења сјајан су изазов, а сам је проблем још један прилог тврдњи да је Архимед један од највећих математичара свих времена.
LoonyGearsAnimation
 

Непогрешиви билијарски сто

Користећи знања из геометрије могуће је направити такав билијарски сто на коме не можете да промашите. Уколико до сада нисте имали среће и искуства у билијару немојте да бринете, код непогрешивог стола математика је на вашој страни. Задатак је једноставан. Пред вама су две обичне кугле и сто елипсастог облика, а циљ је да из једног одбитка првом куглом погодите другу. У ствари, прави проблем је промашити! Да би смо објаснили зашто је то тако, мораћемо да се подсетимо једног физичког закона и једне математичке дефиниције.

elipsa1elipsa2

Прво, кугле се (као што је то случај и са светлошћу) при одбијању од неке препреке покоровају закону који гласи: “Упадни угао је једнак одбијеном”. И не само то, од свих могућих путева по којима кугла може да настави да се креће после одбијања, она увек “бира” онај који је и најкраћи. На то је указао грчки математичар из првог века пре нове ере Херон Александријски. Сада остаје да се сложимо око тога шта мислимо када кажемо елипса. Први који ју је проучавао као математичку криву био је Менехми (а кумовао јој је век касније велики геометар и астроном Аполоније из Перга у свом шестотомном делу “Конике”). Наново је за ову криву почео да интересује тек Јохан Кеплер (17. век), када је открио да су путање планета које се окрећу око Сунца елиптичне, чиме је формулисао први Кеплеров закон. Временом се накупило више различитих дефиниција, али с истим циљем. Једном се изјављује: „Елипса је пресек купе и равни која заклапа мањи угао са базом те купе, него ли са изводницом“. Друга нас обавештава: „Свака тачка елипсе је мање удаљена од неке сталне тачке (фокуса), него ли од неке праве (коју зовемо директриса)“. Трећа нам недвосмислено тврди да сечењем саламе под неправим углом припремамо предјело од елипсица. Дакле, Грци су је назвали елипса (ἔλλειψις), јер јој нешто фали. Ту није крај, јер описа елипсе има још, али за образложење непогрешивости билијарског стола посебно је занимљива једна.

„Елипса је скуп тачака за које важи да је збир растојања до сваког фокуса константан“

Сада нам преостаје да скупљено знање применимо на проблем одгонетања непогрешивости билијарског стола. Како по Херону кугла увек ”бира” најкраћи пут, а како код елипсе (по дефиницији) не постоји разлика међу путевима које кугла прелази од фокуса, преко мантинеле до другог фокуса, онда кугла коју ударите нема избора него да крене трагом судара с супарницом на другој страни стола. Одавде такође следи и супротан исход. Ако после првог ударца не погодите куглу, више никада нећете проћи ни кроз један од фокуса, макар се кугла безброј пута одбијала.

Први који је размишљао о кривим билијарским столовима био математичар Луис Керол познатији по књигама о девојчици Алиси.

b1

Текст преузет из часописа „Математископ“ новембар 2008.

Математика и грађевина

Веза између математике и архитектуре настала је у време антике када је тадашња архитектура била зависна од математичких формула и прорачуна. Египатске пирамиде и антички храмови настали су применом математичких принципа. Неки од њих су и дан-данас права мистерија за човечанство.

Модерна архитектура се и даље ослања на математику за основе конструисања и то не само кроз бројке и мере. Основни принципи математике заслужни су што данас имамо сјајне грађевине које нас подсећају на сетове из научно-фантастичних филмова.

Стаклена башта у Корнвалу

slika-3

Овај образовни центар у Енглеској обликован је од купола које се састоје из петоугаоних и шестоугаоних ћелија. Овај центар је симбол еколошког живота због свог изгледа и начина на који функционише. Њиховом интерактивном центру названом Језгро припојен је Фибоначијев низ (математички низ бројева у коме збир претходна два броја у низу даје вредност следећег броја низа) који се у екологији везује за правило у рачвању и цветању биљака и распореду свих ствари у природи.

Коцкасто село у Ротердаму

slika-8

Ово необично предграђе дело је холандског архитекте Пијета Блома (Piet Blom). Ове нагнуте, геометријске кућице саграђене су на врху пешачког моста. Подељене су у три нивоа и имају прозоре на сваком зиду. Овако постављене изгледају као сасвим одвојене грађевине.

Соларни павиљон у Барселони

slika-7

За овај соларни павиљон коришћени су математички алгоритми. Ови алгоритми утицали су на измењен изглед зграде. Због постављања соларних плоча, зграда је требало бити коцкаста, међутим компјутерским програмом који користи алгоритме, измењен је дизајн целокупне грађевине, која је тим изменама не само кориснија већ и далеко занимљивија од предвиђене.

Филипсов павиљон у Бриселу

SLIKA-5

Ова грађевина саграђена је 1958. године у Бриселу за потребе сајма технологије где је одржан мултимедијални спектакл који је прослављао напредак технологије у послератном периоду. Својим дизајном била је далеко испред архитектуре свог времена и, као таква, била је право изненађење ондашњих посетилаца. Локалне новине описале су ову грађевину као “први електронско-просторни амбијент који комбинује архитектуру, филм, светло и музику у свеукупном искуству направљеном да функционише у простору и времену”.

Црква у Колорадо Спрингсу

slika-2

Архитекта Валтер Нетц (Walter Netsch) обликовао је ову цркву из мноштва тетраедрова (геометријског тела које се састоји из четири троугла) или сложених пирамида. Изгледом подсећа на 17 копаља високих 45м која стреме ка небу. Ова црква направљена је као кадетска капела Ваздухопловне академије САД.
Лондонски солитер Геркин
slika-4
Ова 180м висока, модерна зграда у срцу Лондона конструисана је уз помоћ математичких формула које су архитекте користиле како би умањили последице удара ветра око основе зграде. Заоштрен врх и испупчен центар омогућавају максималну вентилацију, па зграда користи дупло мање енергије од других солитера сличних карактеристика.
Модерна музичка кућа у Торонту
OLYMPUS DIGITAL CAMERA

Ова ексцентрична кућа дом је класичном виолинисти и математичару из Торонта Џејмсу Стјуарту (Јамеs Stеwаrt) који је желео да убаци делић математике у име и дизајн свог дома. Валовита комбинација дрвета и стакла представљају његову другу љубав – према виолини. Простор ове простране куће довољан је за 200 људи, па би овај генијални математичар/виолиниста могао организовати сопствени концерт у свом дому.

Фрактална бензинска пумпа у Лос Анђелесу

slika-101

Фрактал је фрагментиран геометријски облик подељен на неколико делова, чији је сваки део само мања копија основног облика. Многе архитекте користе овај математички принцип у дизајну модерних грађевина. Првобитна станица у Лос Анђелесу реновирана је, а сви елементи су скинути и убачени у фракталну целину. Грађевина је потпуно биолошка; соларне плоче су уклопљене у зидове зграде, користе се рециклирани материјали, а кров бензинске пумпе покривен је биљкама.

Будистички храм у Шангају

slika-1

Ова грађевина инспирисана је Мебијусовом траком. Мебијусова трака се може направити ако се један крај папирне траке заротира на страну и тако залепи за други крај. Тако направљен колут има само једну страну, а његова површина нема почетак и крај. Зато ова трака за будизам симболизује реинкарнацију.
 
Катедрала “Саграда Фамилиа” у Барселони
slika91
Катедрала “Саграда Фамилиа” је масивна римокатоличка црква у Барселони чији је архитекта каталонски архитекта Антони Гауди (Antoni Gaudí). Гауди је био инспирисан хиперболоидном геометријом која се често користи у градњи кула и других високих грађевина којима је потребан чврст ослонац око темеља. У случају ове катедрале хиперболоидна геометрија послужила је и као одлична декорација двеју кула.
Извори фотографија:flavorwire.com, blogs.informatica.com, allposters.ie

Хармонија у кошници

Да ли сте се некада запитали, како пчеле без шестара или лењира,  уз максималну уштеду материјала и у потпуном мраку,  граде савршено правилне и комфорне стамбене објекте у облику шестоугла?

zasto

Најстарија сведочанства о феномену званом кошница подарио нам је Архита Таранћанин, велики геније старог века, и та сведочанства припадају питагорејској школи. Арапски математичар IX века, Ал – Хорезми говори о “идеалним шестоуглима пчелињим“ и о “високој математици која тамо влада“ али недокучивој. Следе Кеплер и Руђер Бошковић који су указивали на “математичку оправданост“ свега пчелињег; физичари Реомир Макс и још многи други налазили су одговоре на питање око израде пчелињег саћа.

Архита Таранћанин

Свака ћелија у кошници саграђена је од воска и има облик правилне шестостране призме којој је једна основа отворена ради стављања меда, а друга је затворена, али не равним дном већ са три ромба чији се тупи углови састају у једном темену.

Зашто баш шестоугао? Зато што би конструисањем округлих, петоугаоних или осмоугаоних структура остало много неискоришћеног простора, а и утрошак грађевинског материјала био би већи. Наиме, само правилни троуглови, четвороуглови и шестоуглови могу потпуно прекрити (поплочати) раван без преклапања. С друге стране, троугласте и четвороугаоне структуре имале би већи укупни обим од оних шестоугаоних, што би такође изискивало више грађевинског материјала по јединици простора.

пчелиње саће

Шестоугаоне структуре не само да су економичне него су и изузетно чврсте. Само 40 грама пчелињег шестоугаоног саћа довољно је да прихвати чак 1814 грама меда.

Пчели радилици потребно је око четири минута за припремање једне љуспице воска. Од 100 грама воска може се изградити око 8.000 шестоугаоних ћелија, а за ту намену потребно је потрошити приближно 125.000 воштаних љуспица. Пчелињем роју који се населио у празну шупљину дрвета неопходно је приближно 1.200 грама воска за изградњу саћа, за шта мора да инвестира енергију еквивалентну 7,5 килограма меда. Од 1.200 грама воска пчеле ће изградити 100.000 шестоугаоних ћелија.

pcelica_maja_180x87

У природном пчелињем гнезду саће је постављено вертикално са хоризонтално позиционираним шестоугаоним ћелијама, налик гомили пажљиво сложених незарезаних графитних оловки. Саће има два лица са шестоугаоним ћелијама на обе стране. Уколико се под правим углом погледа кроз ћелију може да се примети обрис распореда ћелија са супротне стране саћа. Центар основе једне ћелије налази се тачно наспрам тачке у којој се стичу три ћелије са супротне стране. А ако се погледа пажљивије, може се видети да се основа сваке ћелије састоји се од три спојена идентична ромба који уједно представљају трећину основе сваке од суседне три ћелије на супротној страни саћа.

Сваки зид шестоугаоне ћелије пчелињег саћа припада заправо двема суседним ћелијама, чиме се избегава бескорисно дуплирање, што би био случај са цилиндрима или већином призми са многоугаоном основом. Само још троугласте и четвртасте ћелије могу такође да деле све зидове између две суседне ћелије, мада је за изградњу шестугаоних потребно најмање воска – 18 одсто мање него код троугластих ћелија, а 7 одсто у поређењу са квадратним ћелијама.

20

Управо због тога је пчелиње саће једна је од најчешће проучаваних природних структура. Шестоугаони облик саћа као инспирацију користе многе светске архитекте, тако да се оно данас може видети на бројним грађевинама широм света.

Рок трајања пчелињег саћа веома је дуг, ако не и неограничен, осим ако температура не прекорачи тачку његовог кључања, између 62 и 65 степени. У прилог томе говоре и подаци да су остаци саћа пронађени у веома старим зградама, чак и у древним гробницама. Као и сви постојани и квалитетно изграђени објекти, и пчелиње воштане грађевине су дуговечне, јер су изворно намењене употреби током више животних векова.
sace1

Шестоугаоне структуре су коришћене и у прошлости – код шпанских хацијенди, афричких подземних села или код кућа првих насељеника Новог света. Ове структуре су настајале тако што су око једне централне грађевине коју су саградили породични преци ницале надоградње које су подизале наредне генерације, такође у облику шестоугла.

Пчелињи шестоугао се не користи само у грађевинарству – чак су и крила свемирског шатла дизајнирана по угледу на пчелиње саће, да буду лака, али уједно и издржљива.

pcelica